Правова статистика закон великих чисел

Правова статистика закон великих чисел

Розділ ІХ Основні положення теорії імовірностей та вибіркового спостереження

§ 1. Поняття теорії імовірності, закону великих чисел, динамічних і статистичних закономірностей

Кожна людина неодноразово у своїй професійній діяльності чи повсякденному житті ставить перед собою питання: які наслідки може спричинити певна діяльність; чи відбудеться та чи інша подія; як зро­бити прогноз її настання і т. п.

Прогнозування здійснюється не лише окремою людиною, а і в про­цесі роботи державних і недержавних органів та є підставою для при­йняття рішень. Зокрема, у ч. 2 ст. 1 Закону України «Про державне прогнозування та розроблення програм економічного і соціального розвитку України» від 23. 03. 2000 р. № 1602-III зазначено: «Прогноз економічного і соціального розвитку є засобом обґрунтування вибору тієї чи іншої стратегії та прийняття конкретних рішень органами за­конодавчої та виконавчої влади, органами місцевого самоврядування щодо регулювання соціально-економічних процесів». І це є лише оди­ничним прикладом застосування прогнозів. Для того щоб грамотно побудувати прогнози, необхідно керуватися основними категоріями та законами, такими як теорія імовірностей, закон великих чисел, поняття події (достовірної, неможливої, імовірнісної), закономірності (ста­тистичної та динамічної) тощо.

В юриспруденції часто зустрічається прогностична та аналітична діяльність. Однак не можна не зважати на те, що будь-який прогноз, передбачення має імовірнісний характер, якусь похибку. Мета ж до­слідника — зробити її мінімальною, а прогноз — максимально досто­вірним.

Одним із важливіших понять, яким керується теорія імовірностей [1] , є поняття події. Зрозуміло, що вона не виникає сама по собі, а є резуль­татом впливу певних факторів, серед яких, наприклад, причини та умови вчинення злочину, причини настання смерті, причини зростан­ня цін чи податків, передумови стихійного лиха і т. ін. Тут подіями є саме злочин, смерть, зростання цін, стихійне лихо. Досліджуючи передумови, іноді можна впевнено сказати, що при поєднанні факторів подія відбудеться обов’язково. Так, при нагріванні води до 100° по­чинається процес кипіння, де кипіння — це подія, а нагрівання — фак­тор її настання. Отже, подія вважається достовірною в разі її 100- відсоткового настання при поєднанні факторів, які спричиняють до неї. Вона так само може бути і неможливою, скажімо, при нагріванні води лише до 40° (унаслідок чого кипіння неможливе).

Утім не завжди сукупність факторів обов’язково приведе до на­стання події. Наприклад, наявність умислу на вчинення крадіжки, перебування потенційного злочинця в транспорті в години пік, нео­бачна поведінка потенційної жертви (залишення без нагляду гаманця, який стирчить із сумки) як фактори, що можуть спричинити вчинення злочину, не завжди призводять до цього. Завадити викраденню може жалість до жертви, зміна її поведінки або раптове втручання сторонньої людини тощо.

Узагалі вчинення конкретного злочину окремою людиною є уні­кальною подією через неповторність особистості. І це є крайнім при­кладом випадкової одиничної події, прогнозувати яку дуже важко. Однак зробити більш достовірний прогноз можна стосовно інших по­дій. Прикладами випадкових подій є вчинення злочинів певної групи (зокрема, необережних чи деяких насильницьких) особами окремої вікової категорії. Отже, якщо при комплексі факторів подія може від­бутися або не відбутися, вона має назву випадкової. Наука, яка вивчає закономірності масових випадкових явищ, і називається теорією імо­вірностей.

Застосовувати теорію імовірності доцільно в умовах, коли дослід­ник об’єктивно не може побачити розвиток явища чи його причини. Одне з основних понять теорії імовірності — це імовірність. Класич­не визначення імовірності таке: імовірність випадкової події дорівнює відношенню числа випадків, які сприяють події, до спільного числа можливих випадків. Інакше кажучи, для значної кількості випадків імовірність характеризує частоту події. Кількісна міра означає, на­скільки у кількісному відношенні (скажімо, у відсотках від 0-1 до 100 % чи в балах від 0-1 до 10) можливе настання тієї чи іншої події. (Від­повідно при значенні 0 — настання події є однозначно неможливим; при значенні 100 % або 10 — достовірним, а решта значень свідчать про більшу чи меншу імовірність настання події).

Характерною ознакою поняття імовірності є тріада «кількість — подія — невизначеність». Сам факт невизначеності говорить про те, що достовірно не відомо: чи матиме місце певна подія. Класичне ви­значення імовірності дозволяє обрахувати числове вираження настан­ня випадкової події за допомогою відношення кількості випадків, сприяючих події, до загальної кількості можливих випадків. Імовірність характеризує частоту тієї чи іншої події в загальній кількості подій, що дає можливість передбачення.

Наступним важливим поняттям є закон великих чисел. Згідно з ним, сукупність великої кількості однорідних випадкових фактів набуває якос­тей, розвиток яких можна передбачити на підставі теорії імовірностей, оскільки ця сукупність утворила нове, зокрема, соціальне явище.

Використовуючи цей закон, а також поняття імовірності, поставимо питання: яка вірогідність того, що в разі наявності причин та умов вчи­нення зґвалтування, воно буде вчинено щодо особи у віці від 13 до 23 років або від 24 до 33 років? Заздалегідь цього сказати не можна, тому що вчинення суспільно небезпечного діяння проти окремої особи за наявності конкретних причин та умов є випадковим (на місці конкретної потерпілої особи могла б бути інша з таким самим поєднанням детермі­нуючих чинників). Це є проявом того, що окрема подія в межах дії за­кону великих чисел може зовсім не відповідати очікуванням, бо імовір­ною є наявність осіб, які стали потерпілими від вчинення зґвалтувань, віком набагато молодше 13-ти і набагато старше 33-х років. Тож, для відповіді на поставлене вище питання ми з усіх розрізнених випадків зґвалтування досліджуємо їх значну кількість (події мають відбутися протягом фіксованого терміну, скажімо, за 5 років) і одержуємо резуль­тат, який майже не змінюється протягом доволі тривалого періоду часу. Так, жертвами зґвалтування найчастіше (у 65 %) стають жінки та ді­вчата у віці від 13 до 23 років, а у віці від 24 до 33 — всього 15 %. Інши­ми словами, імовірність вчинення вказаного злочину до особи у віці від 13 до 23 років складає 63 %. Подібні цифри неможливо побачити вна­слідок узагальнення кількох одиниць. Ми маємо проникнути до самої сутності соціального явища, яке завжди є чисельним. Отримані таким чином результати обов’язково аналізуються, винаходяться причини саме цього суспільного явища. Повторимося, матеріал для цього аналізу одержується не одиничним відбиранням випадкових подій, а саме сис­темним підбором їх великої кількості, які в сукупності складуть законо­мірність згідно із законом великих чисел.

Закон великих чисел є важливим методологічним підґрунтям ви­біркового спостереження.

Використання закону великих чисел, теорії імовірностей може стати науковою основою прогнозування, а сам факт передбачення, прогнозу має бути заснованим не на екстрасенсорних якостях індивіда, а на використанні ним певних закономірностей. Загалом закономір­ність — це необхідний, істотний, постійно повторюваний взаємозв’язок явищ реального світу, який визначає етапи і форми процесу становлен­ня, розвитку явищ природи, суспільства. Розрізняють два види законо­мірностей: динамічну та статистичну.

Динамічна закономірність — це закономірність, яка виражає одно­значні причинно-наслідкові зв’язки. Іншими словами, це форма при­чинного зв’язку, а також постійного зв’язку, коли конкретний стан системи однозначно визначає всі її майбутні стани. Зважаючи на це знання початкових умов дає можливість точно передбачити подальший розвиток системи. Така закономірність притаманна фізичним, хіміч­ним, біологічним, математичним явищам.

Статистична закономірність — це така закономірність, яка про­являється в масі однорідних явищ при узагальненні даних статистичної сукупності і заснована на дії закону великих чисел. Це форма причин­ного зв’язку, при якому конкретний стан системи визначає весь її по­дальший стан не однозначно, а лише з певною мірою вірогідності. Така закономірність притаманна суспільним явищам.

Із наведених визначень видно, що статистична закономірність, за­снована на законі великих чисел, теорії імовірностей, може бути по­кладена в основу вибіркового спостереження.

uristinfo.net

UkrBukva.net

Діяльність правоохоронних органів є однією з основних видів діяльності держави в умовах сучасного демократичного суспільства. Система правоохоронних органів Російської Федерації постійно розвивається і вдосконалюється, а разом з ними вдосконалюється і система статистики, її збору та аналізу.

Поява статистики обумовлено необхідністю збору кількісної інформації для прогнозування різних ситуацій. У сучасних умовах одна з найбільших гілок статистики — правова, яка фіксує кількість неправомірних дій і кількість відповідних реакцій правоохоронних і судових органів.

Метою дослідження є вивчення закону великих чисел, як одного зі складових статистичного кількісного аналізу.

Для досягнення поставленої мети необхідно виконати наступні завдання: розкрити поняття закону великих чисел; розглянути теорію ймовірностей, як математичну основу закону великих чисел; проаналізувати статистику правопорушень, що демонструє застосування закону великих чисел.

Закон великих чисел як математична основа статистичних закономірностей

закон число статистика правопорушення

При вивченні причин злочинності, окремих злочинів, адміністративних правопорушень та інших порушень чинного законодавства очевидно, що вони, як правило, обумовлені сукупністю взаємопов’язаних явищ, і що зв’язок між ними і досліджуваними порушеннями не однозначна, а багатозначна, не фатальна, а вероятностна. Вона вловлюється лише при вивченні великого числа порушень і відображається у формі статистичних устойчивостей, тенденцій чи закономірностей, які формуються і виявляються в масові явища та процеси, з чим має справу юридична статистика.

Відомо, наприклад, що злочини скоюють і чоловіки, і жінки. Причому вчинення злочину конкретним чоловіком або конкретною жінкою залежить від безлічі випадкових явищ. Однак якщо взяти всіх виявлених правопорушників в нашій країні, припустимо, за 2001 р, то виявиться, що злочинність чоловіків і жінок характеризувалася співвідношенням 7: 1, і ці пропорції практично з року в рік зберігалися. Правда, процес фемінізації злочинності останнім часом змінює це співвідношення. У 2012 р воно було 5,3: 1. Зміни помітні, але не такі, щоб можна було сказати про руйнування цієї статистичної закономірності.

Відбулися зрушення соціально з’ясовні. Аналогічні стійкі співвідношення спостерігаються і в інших країнах. Вони стають статистичної закономірністю, яка відображає соціальну, демографічну і навіть біологічну сутність розглянутих суб’єктів злочинів. У ряді країн, наприклад мусульманських, де частка жінок у структурі правопорушників традиційно вище, на аналогічне співвідношення впливають релігійні і національні традиції. Зазначені стійкості виявляються лише у великій масі злочинів.

У статистичній масі злочинів взаимопогашающиеся впливу окремих криміногенних або антікріміногенних факторів, які робили випадковим вчинення злочинів конкретним чоловіком або жінкою. Залишаються лише сутнісні корінні впливу.

Властивість статистичних закономірностей формуватися і чітко відображатися лише в масовому процесі і при досить великому числі одиниць сукупності одержало назву закону великих чисел. Він має важливе науково-практичне значення для статистичних досліджень в кримінології, кримінальному праві, кримінальному процесі, адміністративному праві та інших юридичних науках, які мають справу з масовими явищами. Його застосування дозволяє виявити закономірності там, де на перший погляд все здається випадковим і не піддається вивченню, бо «де на поверхні відбувається гра випадку, там сама ця випадковість завжди виявляється підлеглою внутрішнім, прихованим законам».

Структура і динаміка злочинності, її причини, мотиви злочинної поведінки, ефективність кримінально-правових заходів, результати діяльності судів, прокуратури, поліції і т. п. можуть бути правильно встановлені і зрозумілі лише на основі закону великих чисел цілого ряду показників. Він дозволяє перейти від випадкового і одиничного до стійкому й масовому і висловлює діалектичну зв’язок між випадковістю і необхідністю. Сукупність випадкових причин породжує наслідок, майже не залежні від випадку, в чому і виявляється закономірність, яка не може бути виявлена ??при малому числі спостережень. На це звернув увагу ще Карл Маркс. Він писав: «. внутрішній закон, що прокладає собі дорогу через ці випадковості і регулюючий їх, стає видимим лише тоді, коли вони охоплюються у великих масах».

Математичної основою закону великих чисел служить теорія ймовірностей. Вона являє собою розділ математики, що вивчає закономірності, що виникають при взаємодії великого числа випадкових явищ. Теорія ймовірностей, розглядаючи закон вели.

сторінка 1 з 3 | Наступна сторінка

ukrbukva.net

1.2. Динамічні та статистичні закономірності. Поняття закону великих чисел

Статистичні спостереження завжди носять масовий характер і здійснюються тільки щодо великої кількості предметів, явищ або фактів, хоча й однорідних, але в той же час настільки різних, що спостереження за одним із них не дає підстав для висновків про інші 6 . Тому, ґрунтовне та об’єктивне дослідження специфічних ознак кожного із них можливе лише в межах статистичної сукупності.

Статистична сукупність— це маса однорідних у певному відношенні елементів (фактів, явищ тощо), які мають єдину якісну основу, але різняться між собою певними ознаками.

Ознака — це статистичний еквівалент властивостей, притаманних елементам сукупності. Кожний елемент сукупності характеризується багатьма ознаками, значення яких змінюється від елемента до елемента або від одного періоду до іншого. Ознака, яка набуває в межах сукупності різних значень, називаєтьсяваріюючою(змінною, мінливою), а відмінність, коливання ознаки —варіацією.Наприклад, ознаки людини: вік, стать, сімейний стан, освіта тощо.

Одні ознаки виражаються числами (кількісні ознаки), інші — словесно (якісні або атрибутивні)

Кількість — це така характеристика явища, завдяки якій сукупність можна поділити на однорідні частини і зібрати їх в іншій якості. Наприклад, адміністративні правопорушення, які досягли значної суспільної небезпеки, можуть перетворитися на злочини.

Кількісними називаються такі ознаки, окремі значення яких виражаються числами (вік людини, кількість судимостей).

За характером варіації кількісні ознаки поділяються на:

Дискретні ознаки мають лише окремі числові значення (кількість судимостей).

Неперервніознаки мають будь-які значення в певних межах варіації (вік людини).

Якість — це внутрішня сутність і особливість усієї сукупності явищ та їх природну розмірність, завдяки чому всі явища відрізняються одне від одного, а також те, що робить їх тим, чим вони є в реальній дійсності. Так, адміністративні правопорушення і злочини відрізняються ступенем суспільної небезпеки, тобто якісною ознакою. Якісні (атрибутивні) ознаки не виражаються числами (тяжкість злочину). Але завжди слід мати на увазі, що якість не існує окремо від кількості.

Таким чином, різниця між різнорідними (не подібними одне до одного) явищами відображується в якісній характеристиці, а різниця між подібними явищами — в кількісній.

Сукупність — це не механічне об’єднання елементів, а впорядкована система, кожний елемент якої являє собою єдність загального та одиничного, необхідного і випадкового. При об’єднанні елементів у сукупність виникають якісно нові системні властивості, які відбивають спільність і відмінність, сталість і мінливість, повторюваність і неповторність властивостей, зв’язків та співвідношень елементів. Системні властивості — суть статистичної закономірності.

Закономірність— це повторюваність, послідовність та порядок у розвитку соціальних явищ. Вона може проявлятися по-різному. Розрізняють два види закономірностей: динамічну та статистичну.

В природних явищах спостерігаються закономірності, які звуться динамічними, тобто певні ознаки того чи іншого явища спостерігаються у кожному окремому його прояві. Скажімо, площа круга змінюється на відповідну величину в зв’язку зі зміною його радіусу, закон Архімеда проявляється у кожному випадку занурення тіла у рідину тощо.

В суспільному житті у соціальних явищах такої закономірності не спостерігається, хоча вони в таких явищах теж існують. Але свій прояв закономірності соціальних явищ знаходять при їх масовому спостереженні і дослідженні і тому такі спостереження звуться статистичними.

Динамічна закономірність —це така, яка виявляється в кожному окремому випадку і не залежить від кількості одиниць, які ми спостерігаємо. Вона притаманна природним явищам. Динамічна закономірність проявляється у фізичних, хімічних, математичних законах.

Статистична закономірністьвиражає середній результат взаємодії значного числа однорідних явищ, тобто статистична закономірність не виражає властивості кожного явища окремо, а тільки в масових процесах, або в загальній системі.

Статистична закономірність—це така, яка виявляється лише в достатній кількості однорідних одиничних елементів, котрі й утворюють сукупність. Тобто кожний окремий елемент може не підтверджувати існування тієї чи іншої закономірності, тому що існування її в кожному елементі носить імовірний характер. Інакше кажучи, статистична закономірність властива лише сукупності одиниць, яка має назву статистичної сукупності.

Статистична сукупність—це певна множина елементів, поєднаних однаковими умовами існування та розвитку. Об’єктивною основою існування статистичної сукупності є складне перетинання причин та умов, які формують той чи інший масовий процес, наприклад, зміни тенденцій в розвитку злочинності залежно від зміни соціально-економічної та політичної ситуації в країні.

Одиницею сукупностіє кожний окремий елемент, який складає статистичну сукупність. Кожна окрема одиниця сукупності є носієм явища, що вивчається, і відрізняється від іншої одиниці сукупності розміром ознаки. Завжди має місце коливання (варіювання) значень ознаки у кожної одиниці статистичної сукупності.

Відображуючи характер дії об’єктивних законів розвитку суспільства в конкретних умовах простору і часу, статистичні закономірності проявляються по-різному. Їх можна об’єднати в такі групи:

1. Закономірності розвитку (динаміки) явищ.Так, статистика може свідчить про збільшення або зменшення рівня злочинності.

2. Закономірності розподілу елементів сукупності.Це може бути розподіл злочинців за віком, злочинів за об’єктом посягання.

3. Закономірності структурних зрушень.Прикладом може бути збільшення злочинності неповнолітніх в загальній структурі злочинності.

4. Закономірності зв’язку між явищами 7 .Наприклад, залежність злочинності від доходів сім’ї, культурного рівня населення тощо.

Статистична закономірність проявляється лише на підставі дослідження достатньо великої кількості одиниць спостереження. Лише за цієї умови проявляється закон великих чисел.

Закон великих чиселбазується на загальному принципі, згідно з яким властивості об’єктивного світу яскраво проявляються у великій масі випадків.

Закон великих чисел— це один із основних законів, який використовується статистикою для дослідження явищ суспільного життя. Він дає змогу зрозуміти, чому із великої кількості хаосу випадкових зв’язків ми можемо встановити і встановлюємо закономірності у розвитку суспільних явищ.

Один, або навіть незначна кількість випадків у соціальному житті може дати випадкові, невластиві в цілому тому чи іншому явищу показники (наприклад, рецидивісти — це особу, як правило, з низькою освітою, але серед них можуть бути виявлені окремі представники з високим рівнем освіти).

Тому, при дослідженні соціальних явищ треба проводити масові спостереження, спираючись на Закон великих чисел. Інакше, висновки, зроблені на малій чисельності фактів можуть бути хибними. Масова ж реєстрація фактів і їх дослідження дозволяють відкинути випадковість, що може бути притаманна окремим проявам і визначити закономірність, що міститься у всій сукупності явищ.

Таким чином — Закон великих чисел є принцип, в силу якого сукупна дія великої кількості випадкових призводить до результату, який не залежить від випадку, а надає можливість виявити закономірні чинники, що непомітні при дослідженні одного або мають кількості випадків даного явища.

studfiles.net

Закон великих чисел та його використання у статистиці

Характеристика діалектики випадкового і необхідного в законі великих чисел. Особливість практичного застосування нерівності Чебишева в теорії похибок. Аналіз динамічної та статистичної закономірностей. Сутність взаємопогашення випадкових відхилень.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Національний університет водного господарства та природокористування

Навчально-науковий інститут економіки, менеджменту і права

з дисципліни «Статистика»

на тему: «Закон великих чисел та його використання у статистиці»

Студент 3-го курсу 1 групи

1. Закон великих чисел

2. Використання закону великих чисел у статистиці

1. Закон великих чисел

ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ — в теорії ймовірностей стверджує, що емпіричне середнє (Середнє арифметичне) кінцевої вибірки з фіксованого розподілу близько до теоретичного середнього (математичного очікування) цього розподілу.Посиленням Закон великих чисел — Закон великих чисел в теорії ймовірностей стверджує, що емпіричне середнє (середнє арифметичне) кінцевої вибірки з фіксованого розподілу близько до теоретичного середнього (математичного очікуванню) цього розподілу.

Таким чином, сутність його полягає в тому, що в числах, які утворюються в Внаслідок масового спостереження, виступають певні правильності, які не можуть бути виявлені в невеликому числі фактів.

Закон великих чисел висловлює діалектику випадкового і необхідного. В результаті взаімопогашенія випадкових відхилень середні величини, обчислені для величини одного і того ж виду, стають типовими, відбивають дії постійних і істотних фактів в даних умовах місця і часу.

Тенденції і закономірності, розкриті за допомогою закону великих чисел, мають силу лише як масові тенденції, але не як закони для кожного окремого випадку.

Принцип математичної статистики, згідно з яким спільне дію набору випадкових факторів може призвести до невипадкового (детерминированному) результату. Першим прикладом дії цього принципу може служити зближення частоти настання випадкової події з його ймовірністю при зростанні числа випробувань.

Найпростіший приклад — досвід з киданням монети. Теоретично випадання орла чи решки рівноймовірно. Це означає, що якщо підкинути монету 10 разів, то 5 разів повинен випасти орел і 5 разів — решка. Проте загальновідомо що вірогідність цього дуже мала. З тим же успіхом може випасти 9 до 1, 3 до 5 і т.д. Тим не менше, якщо збільшити число дослідів, скажімо, до 100, то ймовірність випадання орла чи решки наблизиться до 50%. У межі, якщо спрямувати число дослідів до нескінченності, то ймовірність випадання орла і решки буде асимптотично прагнути до 50%.

Те, який стороною впаде монета, залежить від безлічі випадкових чинників: як вона буде лежати на долоні у експериментатора, сили кидка, висоти падіння, швидкості і т. д. Проте при достатньо великому числі дослідів незалежно від дії цих факторів ми завжди можемо стверджувати, що емпірична (досвідчена) ймовірність буде близька до теоретичної.

Нехай Х — випадкова величина з математичним сподіванням . Виберемо деяке число і розглянемо подію

Геометричний зміст цієї події полягає в тому, що значення випадкової величини Х попаде в область на числовій осі, що одержується виділенням з усієї осі інтервалу . Із збільшенням ця область зменшується, тобто ймовірність попадання в неї зменшується. Нерівність Чебишева якраз і встановлює для цієї ймовірності дуже просту оцінку.

Нерівність Чебишева. Ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання по абсолютній величині не менше довільного додатнього числа , обмежена зверху величиною :

Доведення. Доведення проведемо для дискретної випадкової величини Х з рядом розподілу

Тоді дисперсія величини є

Оскільки всі доданки невід’ємні, то відкинемо ті, у яких , тим самим одержимо:

де запис під знаком суми означає, що сумування поширюється лише на ті значення і , для яких відхиляється від на величину, не меншу, ніж . число нерівність похибка відхилення

Замінимо під знаком суми вирази , то від такої заміни сума лише зменшиться, тобто:

В свою чергу під знаком суми в маємо ймовірність того, що випадкова величина набирає значення , які відхиляються від математичного сподівання на величину, не меншу ніж . Значить,

що й потрібно було довести.

Зауваження. Нерівність Чебищева практично має обмежене значення, оскільки часто дає грубу оцінку. Наприклад,

Але й без оцінки відомо, що ймовірність . З іншої сторони, якщо, наприклад, , то

А це вже непогана оцінка ймовірності, тобто нерівність Чебишева корисна лише при відносно великих .

Теоретичне ж значення нерівності Чебишева дуже велике. Використаємо цю нерівність для доведення теореми Чебишева.

Означення. Послідовність випадкових величин Х1, Х2, . Хn. збігається по ймовірності до величини а, якщо для довільного

Теорема Чебишева. Якщо Х1, Х2, . Хn, . попарно незалежні випадкові величини, що мають рівномірно обмежені дисперсії , то для будь-якого малого числа , ймовірність нерівності

буде як завгодно близька до одиниці, якщо число випадкових величин достатньо велике, тобто

Отже, теорема Чебишева стверджує, що коли розглянути досить велике число незалежних випадкових величин, що мають обмежені дисперсії, то майже достовірною є подія, що відхилення середнього арифметичного випадкових величин від їх математичного сподівання буде по абсолютній величині як завгодно малим числом.

Доведення. Розглянемо випадкову величину

і знайдемо її числові характеристики:

Застосуємо нерівність Чебишева до випадкової величини :

Яке б не було мале , то при , величина , тобто

Теорема Чебишева має практичне застосування в теорії похибок, коли за істинне значення деякої величини беруть середнє арифметичне даних, отриманих в експериментах, що проводяться в однакових умовах. В математичній статистиці по теоремі Чебишева побудований вибірковий метод, суть якого полягає в тому, що про поведінку всієї сукупності можна судити за даними невеликої випадкової вибірки.

Приклад 1. Ймовірність, що холодильник витримає гарантійний термін роботи, дорівнює 0.8 для всіх 100 холодильників, які обслуговує гарантійна майстерня. Оцінити ймовірність, що число холодильників, які витримають гарантійний термін роботи, буде в межах [75;85].

Рішення. Випадкова величина Х — число холодильників, що витримають гарантійний термін роботи, розподілена за біноміальним законом, тому

Використаємо нерівність Чебишева:

2. Використання закону великих чисел у статистиці

Закон великих чисел — це один із основних законів, який використовується статистикою для дослідження явищ суспільного життя. Він дає змогу зрозуміти, чому із великої кількості хаосу випадкових зв`язків, ми можемо встановити і встановлюємо закономірності у розвитку суспільних явищ. Наприклад, народжуваність дівчат або хлопчиків у кожній окремій родині носить випадковий характер: в якихось родинах народжуватимуться одні дівчата, в інших — одні хлопчики, в деяких — пропорційна їх кількість. Але якщо проаналізуємо народжуваність за якийсь значний період (наприклад, за місяць і більше), то обов`язково встановимо, що на 100 народжених дівчаток припадає 103 — 104 хлопчики, а іноді й більше (навпаки не може бути ніколи).

Наведений приклад підкреслює те, що кожне окреме явище суспільного життя завжди унікальне, тому що на нього впливає велика кількість випадкових чинників. Розпізнати між ними закономірність у кожному конкретному — випадку практично неможливо. Але якщо вивчати ці явища у значній кількості, то можна з`ясувати закономірності, оскільки випадкові відхилення, властиві кожному окремому явищу, в своїй сукупності нейтралізують одне одного. Наприклад, окремий чоловік може прожити довше, ніж окрема жінка, але статистичні дані свідчать про те, що середня тривалість життя чоловіків на 5 — 6 років менша, ніж у жінок, а коефіцієнт смертності чоловіків у 2 — 3 рази вищий, ніж у жінок тієї ж самої вікової групи.

Закономірність — це повторюваність, послідовність та порядок у розвитку соціальних явищ. Вона може проявлятися по-різному. В філософії розрізняють два види закономірностей: динамічну та статистичну.

Динамічна закономірність — це така, яка виявляється в кожному окремому випадку і не залежить від кількості одиниць, які ми спостерігаємо. Вона притаманна природним явищам. Наприклад, закон Архімеда можна виявити і на одному об`єкті, який занурюють в рідину, і на тисячі об`єктів. Аналогічним чином можна виявити закон земного тяжіння та інші фізичні, хімічні та математичні закони.

Статистична закономірність — це така, яка виявляється лише в достатній кількості однорідних одиничних елементів, котрі й утворюють сукупність. Тобто кожний окремий елемент може не підтверджувати існування тієї чи іншої закономірності, тому що існування її в кожному елементі носить імовірний характер. Інакше кажучи, статистична закономірність властива лише сукупності одиниць, яка має назву статистичної сукупності.

Статистична сукупність — це певна множина елементів, поєднаних однаковими умовами існування та розвитку. Об`єктивною основою існування статистичної сукупності є складне перетинання причин та умов, які формують той чи інший масовий процес, наприклад, зміни в тенденцій в розвитку злочинності залежно від зміни соціально-економічної та політичної ситуації в країні.

Кожний окремий елемент, який складає статистичну сукупність, має назву одиниці сукупності. Кожна окрема одиниця сукупності є носієм явища, що вивчається, і відрізняється від іншої одиниці сукупності розміром ознаки. Завжди має місце коливання (варіювання) значень ознаки у кожної одиниці статистичної сукупності.

Явищам хімії, фізики, математики та інших природничих наук властиві лише динамічні закономірності.

Явища суспільного життя, які вивчаються статистикою, відносяться до статистичних закономірностей. Окремі елементи статистичної сукупності характеризуються значною кількістю різних ознак, але відповідно до мети дослідження вони мають загальні властивості, що і робить їх статистичною сукупністю. Математично вивчати статистичну закономірність дає змогу використання закону великих чисел.

Відповідно до цього закону при достатньо великій кількості досліджуваних одиниць сукупності можна виявити закономірність, яка не залежить від випадку. В разі підсумовування значної кількості одиничних явищ зникають випадкові відхилення і проявляється та чи інша закономірність, яку неможливо було виявити при дослідженні незначної кількості одиниць сукупності.

Закон великих чисел — це математично обґрунтована теорія, відповідно до якої, спираючись на знання теорії імовірності, можна стверджувати, що спільна дія значної кількості випадкових фактів призводить до наслідків, які не залежать від випадку. В разі підсумовування значної кількості одиничних явищ обов`язково проявляється порядок і закономірність їх руху і розвитку, які не можна встановити при дослідженні малої кількості одиниць сукупності. Інакше кажучи, закон великих чисел дає змогу встановити закономірність там, де на перший погляд проявляється лише випадковість.

З точки зору діалектичного підходу випадковість і необхідність нерозривно пов`язані між собою і завжди переходять одна в іншу, особливо в разі достатньої кількості досліджуваних одиниць сукупності.

Проте закон великих чисел не може визначити ні рівень, ні динаміку розвитку суспільного явища. Він лише обумовлює взаємопогашення випадкових відхилень, які властиві окремим одиницям статистичної сукупності, дозволяє виявити в ній дію об`єктивних законів розвитку суспільних явищ.

otherreferats.allbest.ru

Закон великих чисел

Закон великих чисел – у математичному значенні – закон теорії ймовірності, сформульованої у формі теорем Бернуллі, Пуассона і Чебишева з їхніми узагальненнями. Закон великих чисел встановлює стійкість середніх характеристик великої кількості дослідів, тобто наближених характеристик до деяких сталих величин. Названі теореми набули широкого застосування, започаткувавши один із центральних розділів теорії імовірності – граничного розподілу, а також стали одним із розділів математичної статистики.

Водночас закон великих чисел у практичних дослідженнях набув закону статистики, є основою для розв’язку такої задачі за спостережуваними у реальності наслідками або подіями (явищами) знайти закони і причини цих подій. Оскільки кожна подія має свою причину, тобто породжена дією постійних і водночас випадкових причин, то закон виявляється «у формі випадковості», тобто у вигляді хаотичного коливного (розсіяного) ряду чисел. Відкриття такого закону можливе лише на основі розгляду відповідних йому подій у сукупності й обчисленні масових або середніх спостережень по них при використанні великих чисел. Однак аналіз подій у сукупності, обсяг яких завжди обмежений, дає можливість знаходити масові властивості та масові закономірності, які лише за певних умов і до того ж наближено можуть стати вираженням законів цих подій. Тобто оскільки на практиці число спроб при проведенні спостережень скінченне, то статистична величина неточно відображає закон цих подій, вона неминуче супроводжується випадковою похибкою, можливо, величина її може бути обчислена за допомогою методів теорії імовірності. Слід врахувати, що за однакового числа спостережень закономірність даних подій тим точніша, чим менша його розсіяність (дисперсія) тобто закономірність одиноких подій відображається менш точно, ніж масових (частіших) подій. Отже, за поодинокими подіями, як і за подіями з великою дисперсією, потрібно проводити велику кількість спостережень. Будь-який статистичний ряд – це коливний ряд чисел, і закон подій виражається у вигляді тенденції, що проходить між коливаннями цих чисел. Чим більше число однорідних спостережень, тим більш вираженим буде цей ряд чисел і тим точнішого виразу набуде тенденція. Збільшуючи число таких спостережень і переходячи до границі, можна отримати вираз тенденції без випадкових коливань, тобто вираз закону, що лежить в основі даної події і має назву емпіричного закону. Таку тенденцію можна математично описати функцією, наприклад, поліномом другого ступеня у(х)=ах 2 +вх+с, в якому сталі а, в, с – середні величини, а функція у набуватиме середнього значення (у) при різних значеннях аргументу х ( 0, 1, n). Середні значення (у) наближено виражатимуть задану тенденцію. Закон великих чисел широко застосовують в економіці, техніці та інших галузях знань. Зокрема, він є основою відомого правила, яким користуються експериментатори для оцінки невідомої величини слід взяти середнє арифметичне великого числа результатів її вимірювань. Закон великих чисел економічній статистиці зумовлює взаємо-погашення випадкових індивідуальних відхилень рівнів масових однорідних соціально-економічних явищ і процесів від середньої їх величини, в якій за достатньо великої кількості одиниць виявляється закономірність. Отже, закон великих чисел пов’язує точність статистичних висновків про закони подій (явищ) із числом, яке покладено в основу їх спостережень.

Економічна енциклопедія: У трьох томах. Т. 1. / Редкол.: …С. В. Мочерний (відп. ред.) та ін. – К.: Видавничий центр “Академія”, 2000. – 864 с.

www.ukr.vipreshebnik.ru