Случайные величины закон распределения и способы его задания

Случайные величины закон распределения и способы его задания

«Я вполне могу допустить, что хорошенькая героиня, спасаясь бегством, может оказаться на извилистой и опаской горной тропе. Менее вероятно, но все же возможно, что мост над пропастью рухнет как раз в тот момент, когда она на него ступит. Исключительно маловероятно, что в последний момент она схватится за былинку и повиснет над пропастью, но даже с такой возможностью я могу согласиться. Совсем уж трудно, но все-таки можно поверить в то, что красавец ковбой как раз в это время будет проезжать мимо и выручит несчастную. Но чтобы в этот момент тут же оказался оператор с камерой, готовый заснять все эти волнующие события на пленку, – уж этому, увольте, я не поверю!»

Нильс Бор о ковбойских вестернах

Одно из центральных понятий теории вероятностей — понятие случайной величины:

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Будем обозначать случайные величины буквами латинского алфавита X, Y, Z

Случайная величина бывает:

дискретной

непрерывной

смешанной (дискретно-
непрерывной)

Пример: игральные кости. Выпадаемый номер — случайная величина, которая может принимать одно из возможных значений — 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с равной вероятностью*.

Пример: рост студентов — рост студента может принимать любое значение из числового промежутка 1 м до 2,5 м. Число возможных значений — бесконечно.

Закон распределения дискретной случайной величины

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).

Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x₁, x₂, x₃ . x_n с некоторой вероятностью p_i, где i = 1.. n. Сумма вероятностей p_i равна 1.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей вида

называется рядом распределения дискретной случайной величины или просто рядом распределения. Эта таблица является наиболее удобной формой задания дискретной случайной величины.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует дискретную случайную величину. Однако, когда невозможно определить закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины:

• Математическое ожидание,
• Дисперсия,
• Среднее квадратичное отклонение

Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Математическое ожидание M дискретной случайной величины — это среднее значение случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания .
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий .
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

Для описания многих практически важных свойств случайной величины необходимо знание не только ее математического ожидания, но и отклонения возможных ее значений от среднего значения.

Дисперсия случайной величины — мера разброса случайной величины, равная математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Принимая во внимание свойства математического ожидания, легко показать что

Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания, а просто отклонение. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания, но как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.
3. Если x и y независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий.

Средним квадратическим отклонением случайной величины (иногда применяется термин «стандартное отклонение случайной величины») называется число равное



Среднее квадратическое отклонение, следовательно, является, как и дисперсия, мерой рассеяния распределения, но измеряется, в отличие от дисперсии, в тех же единицах, которые используют для измерения значений случайной величины.

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Вероятность того, что при случайном броске монета ляжет гербом кверху равняется 1/2. Значит, зная вероятность события, мы можем предсказать, что при стократном бросании монеты герб появится 50 раз? Не обязательно точно 50. Но что-нибудь около этого непременно.

Якоб Бернулли (1654-1705) строго доказал — вероятность того, что событие А наступит ровно k раз при проведении независимых n испытаний равна





где p — вероятность наступления события А, q — вероятность наступления противоположного события.

flash-library.narod.ru

Способ задания дискретных случайных величин 736

ЕЩЁ МАТЕРИАЛЫ ПО ТЕМЕ:

Предположим, нас интересует дискретная случайная величина Х. Для того чтобы полностью описать ее, достаточно указать все ее возможные значения х₁, х₂, . х_n (здесь n — заданное целое число) и вероятности Р<Х=х_i>= р_i, где i = 1, 2, . n, с которыми эти значения принимаются. Обычно все эти значения записываются в виде таблицы (табл. 3.1).

Таблицу называют законом распределения дискретной случайной величины (сравните ее с вариационным рядом дискретного статистического признака, чтобы увидеть связь между статистикой и теорией вероятностей).

Так как при каждой реализации данного комплекса условий случайная величина Х может принять только одно значение из множества возможных значений, то эти значения представляют собой полную группу несовместных событий. Тогда, на основании следствия 2 из правила сложения вероятностей, должно выполняться условие . Его называют нормирующим условием.

Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде ломаной линии — полигона (рис. 3.2) (здесь опять уместно вспомнить вариационные ряды).



Рис. 3.2. Графическое изображение закона распределения
дискретной случайной величины

Если множество возможных значений дискретной случайной величины — бесконечное, но счетное, то закон распределения примет вид (табл. 3.2):

studepedia.org

Лекция 1_06: Теория вероятностей. Случайные величины

При реальном использовании теории вероятностей к пространству элементарных событий никогда не обращаются. Это понятие нужно для теоретических обоснований вероятностных схем. Наиболее часто рассматриваются случайные схемы, в которых событием является появление какого-то числа. Для таких схем вводится понятие случайной величины . Этому понятию и будет посвящена наша лекция. Мы рассмотрим случайные величины, способы их задания (так называемые законы распределения ), числовые характеристики случайных величин, а также наиболее часто встречающиеся законы распределения.

Случайной величиной называется отображение множества элементарных событий в множество вещественных (или целых) чисел

Предполагается такая схема: в результате случайного эксперимента выбирается одно из элементарных событий, по нему вычисляется значение функции, и это значение наблюдается. Упомянутое отображение определяет вероятности появления тех или иных значений случайной величины.

Например, пусть множество элементарных событий состоит из двухкратных бросаний игральной кости, что дает 36 элементарных исходов. Пусть функция ξ определена как сумма значений, выпавших на костях. Очевидно, такая случайная величина может принимать значения от 2 до 12. При этом значению 2 соответствует одно элементарное событие, а, скажем, значению 9 — четыре: (3,6), (4,5), (5,4) и (6,3).

Обычно наблюдаются и изучаются не элементарные события, множество которых нам совершенно неизвестно, а именно случайные величины. Чтобы задать их вероятностное поведение, нужно задать вероятности того, что случайная величина принимает то или иное значение. Рассмотренный нами пример случайной величины мы сможем опеределить так:

Попробуйте сами составить таблицу вероятностей суммы очков трех бросаний игральной кости.

Определение вероятностей, с которыми случайная величина принимает свои значения называется ее законом распределения .

Функция распределения случайной величины

Одним из важнейших способов задания закона распределения — это задание функции распределения .

Функцией распределения случайной величины ξ называется функция

На рисунке изображена
функция распределения случайной величины, рассмотренной в качестве примера.

Для наглядности область под графиком функции закрашена в серый цвет. Отчетливо видно, что эта функция монотонно неубывает и кусочно-постоян­ная. Она имеет скачки в точках, соответствую­щих значениям, вероятность которых положительна.

Такая функция распределения частно называется интегральной . Когда она непрерывна и у нее есть производная, то эту производную часто называют плотностью распределения . Если функция распределения, как в нашем примере, кусочно-постоянна, но роль плотности может играть набор скачков.

Задавать произвольную функцию распределения дело хлопотное. Для упрощения используются два подхода.

Во-первых, часто можно ограничиться некоторыми очень простыми численными характеристиками случайной величины.

Во-вторых, имеются часто встречающиеся классы вероятностных распределений, и часто по каким-то «модельным» соображениям можно понять, к какому классу принадлежит данное распределение. В этом случае достаточно только задать параметры этого распределения.

Эти подходы мы сейчас и рассмотрим.

Характеристики случайных величин

Пусть задана случайная величина ξ , принимающая конечное число значений a₁ , a₂ , . a_k с вероятностями
p₁ , p₂ , . p_k . Математическим ожиданием этой случайной величины называется сумма Eξ = Σ _{i О 1:k} p_ia_i.

Как определяется математическое ожидание для более общего случая, нужно говорить отдельно: используются интегралы, но вас уже учили, что интеграл определяется через интегральные суммы, и для случайных величин можно вводить близкие к ним дискретные случайные величины, математические ожидания которых будут играть роль интегральных сумм для математического ожидания исходной случайной величины.

Математическое ожидание, как видно из этой формулы, можно трактовать как центр тяжести набора масс p_i , сосредоточенных в точках a_i . Естественно, что и свойства его нам хорошо знакомы как свойства центра тяжести:

4. если случайная величина с вероятностью 1 принимает значение a , т. е., если k = 1 , то Eξ = a,
5. если η = cξ , где c — постоянная, то Eη = cEξ ,
6. для любых ξ и η выполняется E(ξ + η) = Eξ + Eη .

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания .

Это определение сначала вызывает тихий ужас. На самом деле, это очень удобное словесное описание формулы. Слова математическое ожидание означают, что мы должны написать
Dξ = E (. )
квадрата уточняет
Dξ = E (. ) 2
отклонения относится уже к выражению в скобках
Dξ = E (. − . ) 2
случайной величины от ее математического ожидания завершает написание формулы
Dξ = E (ξ − Eξ) 2

Дисперсию можно трактовать как момент инерции того же набора масс относительно его центра тяжести. Ее свойства нам тоже хорошо знакомы:

7. если случайная величина с вероятностью 1 принимает значение a , то Dξ = 0,
8. если η = cξ , где c — постоянная, то Dη = c 2 Dξ .
9. Хотелось бы иметь и равенство D(ξ + η) = Dξ + Dη , но оно верно только для случая независимых случайных величин .

Случайные величины ξ и η называются независимыми , если для любых a и b независимы события <ξ и <η .

Легко убедиться в том, что если мы суммируем n независимых и одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием a и дисперсией b , то для их суммы математическое ожидание и дисперсия равны соответственно n a и n b , а для среднего арифметического — соответственно a и b/n .

Значит, если мы хотим оценить какое-то число, которое является математическим ожиданием некоторой случайной величины, мы можем устроить случайное испытание — наблюдать много раз эту случайную величину и вычислить среднее арифметическое. Его разброс вокруг истинного значения будет уменьшаться с ростом числа наблюдений: сто раз измеришь — в десять раз уменьшится (так как важна не сама дисперсия, а корень из нее). Этот факт лежит в основе важного вычислительного метода статистического моделирования .

Отметим, что по аналогии со случайными событиями можно различать взаимно независимые и попарно независимые случайные величины. Для упомянутого свойства дисперсий вполне достаточно, чтобы случайные величины были независимы попарно. Используются и другие характеристики, но эти самые важные. Сейчас мы рассмотрим некоторые важные типы распределений и каждый раз будем указвать их математическое ожидание.

Типы распределений

Равномерное распределение

Случайная величина распределена равномерно в промежутке [a,b] , где a , если ее функция распределения
F(x) равна 0 при x , 1 при x > b и меняется линейно от 0 до 1 при a .

Математическое ожидание такой случайной величины равно (a + b)/2 , а дисперсия — (b − a) 2 /12 .

На рисунке показан график этой функции распределения для a = 0 и b = 1 .

Этот закон распределения нам очень важен, так как все стандартные компьютерные датчики случайных величин ( псевдослучайные числа ) моделируют именно такие случайные величины, а из них уже и создаются нужные нам случайные величины.

Показательное распределение

Случайная величина распределена показательно или экспоненциально , если она неотрицательна и F(x) = 1 − exp(−λ x) , где λ — положительная константа.

Математическое ожидание такой случайной величины равно λ − 1 , а дисперсия — λ − 2 .

На рисунке показан график этой функции распределения для λ = 3 .

Этот закон распределения нам часто встречается в приложениях, особенно в радиотехнических и коммуникационных. В частности, часто предполагается, что время разговора двух абонентов распределено по показательному закону.

Нормальное распределение

Это самое популярное из стандартных распределений вероятности, и на первый взгляд может показаться странным, что наиболее распространена такая сложная формула .

Случайная величина распределена нормально или по Гауссу , если (справа портрет К. Ф. Гаусса (1777-1855))



Эта функция зависит от параметров a и σ . Математическое ожидание такой случайной величины равно a , а дисперсия — σ 2 .



На графике показана стандартная функция с a = 0 и σ = 1 .

Причина частого появления этого закона в приложениях в том, что при сло­жении случайных вели­чин очень часто распределение их суммы, рассматриваемой в качестве случайной величины, приближается к нормальному.

В наших задачах оно встречаться не будет, но не упомянуть о нем было бы неприлично.

Распределение Бернулли

Это простейшее дискретное распределение названо в честь швейцарского математика Якова Бернулли старшего (1654-1705) , (еще был и младший, работавший в Петербурге).

Случайная величина распределена по Бернулли , если она принимает всего два значения. Обычно этими значениями являются 1, вероятность которой равна p ,
и 0, вероятность которого равна q = 1 − p.

Математическое ожидание такой случайной величины равно p , а дисперсия — pq .

Такой график вы, конечно, построите сами.

Закон Бернулли очень удобен для всякого рода модельных построений, он всего чуть сложнее, чем его частный случай — бросание монеты, где p = 1/2 .

Биномиальное распределение

Случайная величина ξ , равная сумме n независимых одинаковых бернуллиевских случайных величин, имеет биномиальное распределение . Для нее

Математическое ожидание такой случайной величины равно np , а дисперсия — npq .

Биномиальное распределение при увеличении числа слагаемых n становится очень похожим на нормальное распределение.

Нужно только подходящим образом нормировать случайную величину: вычесть математическое ожидание и поделить на корень из дисперсии, т. е. вместо ξ рассматривать
η = (ξ — np)(npq) − 1/2 .

Если же с ростом n вероятность p уменьшается, причем так, что сохраняется или стабилизируется произведение np , получается другое классическое распределение, которое мы сейчас опишем.

Распределение Пуассона

Это распределение предложено французским математиком Симеоном Пуассоном (1781-1840) , почетным членом Петербургской Академии наук.

Случайная величина ξ имеет пуассоновское распределение , если

Математическое ожидание такой случайной величины равно λ , и дисперсия тоже λ .



Пуассоновское распределение характерно для схемы редких событий — в которой складывается очень много случайных величин с распределением Бернулли и очень малой вероятностью положительного исхода у каждого.

Например, отмечалось, что количество писем, опущенных в почтовый ящик с ненадписанным конвертом, имеет пуассоновское распределение.

Упражнения

Случайная величина принимает значения 0 с вероятностью 0.3, 2 с вероятностью 0.2, 4 с вероятностью 0.5. Найдите ее математическое ожидание и дисперсию.

Две случайных величины имеют математическое ожидание 0 и дисперсию 1. В каких пределах может меняться дисперсия их суммы. Постройте пример с наибольшим и наименьшим значением дисперсии суммы.

Экзаменационные вопросы

Случайные величины и их функции распределения.

Математическое ожидание и дисперсия. Их свойства.

www.math.spbu.ru

Образовательный блог — всё для учебы

Повторение опытов

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. В подобных задачах требуется уметь определять вероятность любого заданного числа проявлений события в результате серии опытов. Они решаются весьма просто в случае, когда опыты являются независимыми.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность события А во всех опытах одна и та же Р_i(А)=const. Во втором случае вероятность события А от опыта к опыту меняется Р_i(А)=var. К первому случаю относится частная теорема, а ко второму – общая теорема о повторении опытов.

Формулировка частной теоремы о повторении опытов:
Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А проявляется с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровно m раз выражается формулой:

где q = 1 — p, C_n m — число всех комбинаций, т.е. число способов которыми можно из n опытов выбрать m в которых произошло событие А.

Формула общей теоремы:

где z – произвольный параметр.

Как в общем, так и в частном случае:

Случайные величины и законы их распределения
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее какое именно.

Случайные величины бывают двух типов:
• непрерывные;
• прерывные (дискретные).

Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами.
Пример:
Х- число попаданий при трех выстрелах:
х₁ = 0;
х₂ = 1;
х₃ = 2;
х₄ = 3.

Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями x₁, x₂, …, x_n. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью
Х= х₁;
Х= х₂;
Х= х₃;
Х= х₄.

∑P_m,n = 1, так как несовместные события образуют полную группу. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если будет задано это распределение, т.е. в точности указано, какой вероятностью обладает каждое из событий. Этим устанавливается так называемый закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения прерывной случайной величины Х может быть задан в следующих формах:
• табличной;
• аналитической;
• графической.

Простейшей формой задания закона распределения прерывной случайной величины Х является таблица.

all4study.ru

Случайные величины. Дискретная случайная величина.
Математическое ожидание

Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам, которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины, как правило, обозначают через *, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, .

* Иногда используют , а также греческие буквы

Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей, где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:

– количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.

В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем); при этом случайная величина может принять одно из следующий значений:

.

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

, либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах).

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта 🙂

Тем не менее, ваши гипотезы?

Коль скоро, множество действительных чисел бесконечно, то случайная величина может принять бесконечно много значений из некоторого промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.

Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы:

1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно.

…нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры!

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание: в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную.

Закон распределения дискретной случайной величины

– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

Найти

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля.

Решение: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ:

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера:

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

И для :

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ: искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения. Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

очка

В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности.

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

, таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно.

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения.

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия, о которой мы узнаем во 2-й части урока.

Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:

Случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:

Найти , если известно, что . Выполнить проверку.

Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины, и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.

Решения и ответы:

Пример 3. Решение: по условию – вероятность попадания в мишень. Тогда:
– вероятность промаха.

Составим – закон распределения попаданий при двух выстрелах:

– ни одного попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

– одно попадание. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий:

– два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Проверка: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Ответ:

Примечание: можно было использовать обозначения – это не принципиально.

Пример 4. Решение: игрок выигрывает 100 рублей в 18 случаях из 37, и поэтому закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:

Вычислим математическое ожидание:

Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.

Пример 5. Решение: по определению математического ожидания:

поменяем части местами и проведём упрощения:

таким образом:

Выполним проверку:

, что и требовалось проверить.

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

mathprofi.ru