Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Функция НОРМРАСП
Возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. Эта функция очень широко применяется в статистике, в том числе при проверке гипотез.
x — значение, для которого строится распределение.
Среднее — среднее арифметическое распределения.
Стандартное_откл — стандартное отклонение распределения.
Интегральная — логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения.
· Если аргумент «среднее» или « стандартное_откл » не является числом, функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
· Если стандартное_откл ≤ 0, то функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
· Если среднее = 0, стандартное_откл = 1 и интегральная = ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение, т. е. НОРМСТРАСП.
· Уравнение для плотности нормального распределения (аргумент «интегральная» содержит значение ЛОЖЬ) имеет следующий вид:
· Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, формула описывает интеграл с пределами от минус бесконечности до x .
Функция НОРМСТРАСП
Возвращает стандартное нормальное интегральное распределение. Это распределение имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице. Данная функция используется вместо таблицы площадей стандартной нормальной кривой.
Z — значение, для которого строится распределение.
· Если z не является числом, функция НОРМСТРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
· Уравнение плотности стандартного нормального распределения имеет следующий вид:
Функция НОРМОБР
Возвращает обратное нормальное распределение для указанного среднего и стандартного отклонения.
Вероятность — вероятность, соответствующая нормальному распределению.
· Если какой-либо из аргументов не является числом, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
· Если вероятность 1, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
· Если стандартное_откл ≤ 0, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
· Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, функция НОРМОБР использует стандартное нормальное распределение (см. НОРМСТОБР).
Если задано значение вероятности, функция НОРМОБР ищет значение x , для которого функция НОРМРАСП( x , среднее, стандартное_откл , ИСТИНА) = вероятность. Однако точность функции НОРМОБР зависит от точности НОРМРАСП. В функции НОРМОБР для поиска применяется метод итераций. Если поиск не закончился после 100 итераций, функция возвращает значение ошибки #Н/Д.
yuschikev.narod.ru
Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу
Загрузить всю книгу 
5.3.3. Равномерный и нормальный законы распределения непрерывных случайных величин
На практике приходится при решении задач сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины называют законом распределения.
Следует рассмотреть некоторые важные для практики распределения случайных величин и соответствующие им числовые характеристики.
Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:
.
Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:
.
1. Математическое ожидание по формуле (5.11):
.
.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X , равномерно распределенной на интервале (2;6).
.
.
Среднее квадратическое отклонение:
Это распределение реализуется, например, в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на интервале [ a , b ], при этом случайная величина X – абсцисса поставленной точки.
Вероятность попадания равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х на интервале [ a , b ], определяется по формуле (5.9а).
Примером равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х является ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления шкалы измерительного прибора, проградуированной в некоторых единицах.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что ошибка отсчета: а) превысит значение 0,04; б) меньше 0,04.
Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность равномерного распределения по формуле (5.14) равна:
,
где (b – a) – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х.
Вне этого интервала f (x) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,2. Поэтому плотность распределения вероятностей равна:
.
Тогда ошибка отсчета превысит значение 0,04, если она будет заключена в интервале (0,04; 0,2). По формуле (5.9а) вычисляется вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка превышающая значение 0,04:
.
Ошибка отсчета меньше 0,04 будет заключена в интервале (0; 0,04) с вероятностью:
.
Рис. 5.3. Плотность распределения вероятностей случайной величины, равномерно распределённой на отрезке [a;b]
Непрерывная случайная величина x имеет нормальльное распределение с параметрами: m, s > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид:
edu.tltsu.ru
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Закон распределения непрерывной случайной величины невозможно описать с помощью таблицы, в которой были бы перечислены все возможные значения этой величины и их вероятности. Однако различные области возможных значений случайной величины не являются одинаково вероятными. Для количественной характеристики этого распределения рассматривают не вероятность события X=x, а вероятность события X
- Если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку (a, b), то F(x)=0 при
;
F(x)=1 при 
.
Пусть 
. Тогда событие X
Выразим вероятность попадания величины Xна отрезок (a,b) через плотность распределения. Она равна сумме элементов вероятности на всем этом отрезке, т.е. интегралу:
(*)
Геометрически вероятность попадания величины Xна отрезок (a,b) равна площади, ограниченной кривой f(x), осью абсцисс и перпендикулярами в точках x=a и x=b (Рис. 4)
Рис 4. Площадь заштрихованной фигуры численно равна вероятности попадания величины Х на отрезок (а, в).
Выразим функцию распределения через плотность распределения. По определению 
, откуда по формуле (*) имеем:
.
Геометрически F(x) – это площадь под кривой f(x), расположенная левее x (рис. 5).
Рис 5. Площадь заштрихованной фигуры численно равна вероятности события Х σ1
Для решения задач по нахождению М(х), Д(х) и σ(х), а так же для расчета вероятности попадания случайной величины в заданной интервал для удобства необходимо составлять следующие таблицы:
poznayka.org
Основные законы распределения
Репетитор: Васильев Алексей Александрович
Предметы: математика, физика, информатика, экономика.
Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
Репетитор: Крюков Илья Хассанович
Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.
Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович
Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).
Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
Репетитор: Матвеева Милада Андреевна
Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).
Репетитор: Тверской Василий Борисович
Предметы: математика, физика.
Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
Репетитор: Поздняков Андрей Александрович
Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.
Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
Репетитор: Ершикова Марина Львовна
Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.
Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
1.Биномиальный закон распределения.
Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.
Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей.
В таблице m — число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. Сn m — число сочетаний m телевизоров по n, p — вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q — вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n — вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.
2.Геометрическое распределение.
Геометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:
P m — вероятность наступления события А в испытание под номером m.
р — вероятность наступления события А в одном испытании.
q = 1 — p
Пример. В компанию по ремонту бытовой техники поступила партия из 10 запасных блоков для стиральных машин. Бывают случаи, что в партии оказывается 1 блок бракованный. Проводится проверка до обнаружения бракованного блока. Необходимо составить закон распределения числа проверенных блоков. Вероятность того, что блок может оказаться бракованным равна 0,1. Построить полигон распределения вероятностей.
Из таблицы видно, что с увеличением числа m, вероятность того, что будет обнаружен бракованный блок, снижается. Последняя строчка (m=10) объединяет две вероятности: 1 — что десятый блок оказался неисправным — 0,038742049 , 2 — что все проверяемые блоки оказались исправными — 0,34867844. Так как вероятность того, что блок окажется неисправным относительно низкая (р=0,1), то вероятность последнего события P m (10 проверенных блоков) относительно высокая. Рис.2.
3.Гипергеометрическое распределение.
Гипергеометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:
Например, составить закон распределения 7-ми угаданных чисел из 49. В данном примере всего чисел N=49, изъяли n=7 чисел, M — всего чисел, которые обладают заданным свойством, т.е. правильно угаданных чисел, m — число правильно угаданных чисел среди изъятых.
Из таблицы видно, что вероятность угадывания одного числа m=1 выше, чем при m=0. Однако затем вероятность начинает быстро снижаться. Таким образом, вероятность угадывания 4-х чисел уже составляет менее 0,005, а 5-ти ничтожно мала.
4.Закон распределения Пуассона.
Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если закон ее распределения имеет вид:
λ = np = const
n — число испытаний, стремящиеся к бесконечности
p — вероятность наступления события, стремящаяся к нулю
m — число появлений события А
Например, в среднем за день в компанию по продаже телевизоров поступает около 100 звонков. Вероятность заказа телевизора марки А равна 0,08; B — 0,06 и C — 0,04. Составить закон распределения заказов на покупку телевизоров марок А,В и С. Построить полигон распределения вероятностей.
Из условия имеем: m=100, λ 1 =8, λ 2 =6, λ 3 =4 ( ≤10 )
(таблица дана не полностью)
Если n достаточно большое и стремится к бесконечности, а значение p стремится к нулю, так что произведение np стремится к постоянному числу, то данный закон является приближением к биномиальному закону распределения. Из графика видно, что чем больше вероятность р, тем ближе кривая расположена к оси m, т.е. более пологая. (Рис.4)
Необходимо отметить, что биномиальный, геометрический, гипергеометрический и закон распределения Пуассона выражают распределение вероятностей дискретной случайной величины.
5.Равномерный закон распределения.
Если плотность вероятности ϕ(х) есть величина постоянная на определенном промежутке [a,b], то закон распределения называется равномерным. На рис.5 изображены графики функции распределения вероятностей и плотность вероятности равномерного закона распределения.
6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса).
Среди законов распределения непрерывных случайных величин наиболее распрастраненным является нормальный закон распределения. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:
где
а — математическое ожидание случайной величины
σ — среднее квадратическое отклонение
График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, симметричен относительно прямой х=а, т.е х равному математическому ожиданию. Таким образом, если х=а, то кривая имеет максимум равный:
При изменении величины математического ожидания кривая будет смещаться вдоль оси Ох. На графике (Рис.6) видно, что при х=3 кривая имеет максимум, т.к. математическое ожидание равно 3. Если математическое ожидание примет другое значение, например а=6, то кривая будет иметь максимум при х=6. Говоря о среднем квадратическом отклонении, как можно увидеть из графика, чем больше среднее квадратическое отклонение, тем меньше максимальное значение плотности вероятности случайной величины.
Функция, которая выражает распределение случайной величины на интервале (-∞,х), и имеющая нормальный закон распределения, выражается через функцию Лапласа по следующей формуле:
Т.е. вероятность случайной величины Х состоит из двух частей: вероятности где x принимает значения от минус бесконечности до а, равная 0,5 и вторая часть — от а до х. (Рис.7)
www.mathtask.ru
Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины
Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:
- равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
- показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
- нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.
Дадим понятие нормального закона распределения, функции распределения такого закона, порядка вычисления вероятности попадания случайной величины Х в определенный интервал.
Пример решения задачи по теме «Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины»
Длина X некоторой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону распределения, и имеет среднее значение 20 мм и среднее квадратическое отклонение – 0,2 мм.
Необходимо:
а) записать выражение плотности распределения;
б) найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 мм;
в) найти вероятность того, что величина отклонения не превышает 0,1 мм;
г) определить, какой процент составляют детали, отклонение которых от среднего значения не превышает 0,1 мм;
д) найти, каким должно быть задано отклонение, чтобы процент деталей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%;
е) найти интервал, симметричный относительно среднего значения, в котором будет находиться X с вероятностью 0,95.
Решение. а) Плотность вероятности случайной величины X, распределенной по нормальному закону находим по формуле 1:
при условии, что mx=20, σ =0,2.
б) Для нормального распределения случайной величины вероятность попасть в интервал (19,7; 20,3) определяется по формуле 3:
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0,2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5) = 2*0,4332 = 0,8664. 
Значение Ф(1,5) = 0,4332 мы нашли в приложениях, в таблице значений интегральной функции Лапласа Φ(x) (таблица 2)
в) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа 0,1 найдем по формуле 4:
Р(|Х-20|
2012-2015 © Лана Забродская (в Google+). При копировании материалов сайта ссылка на источник обязательна
www.ekonomika-st.ru