Закономерность закон больших чисел
Оглавление:
Статистические закономерности. Закон больших чисел
Закономерности — устойчивые и регулярные взаимосвязи (отношения) между явлениями и объектами, обнаруживающиеся в процессах развития. Познание закономерностей реального мира составляет не только первейшую задачу науки, но и основу целесообразной деятельности человека. Закономерность, проявившаяся лишь в большой массе явлений через преодоление случайности, свойственной её единичным элементам, называется статистической закономерностью.
Пример статистической закономерности в криминологии. Более 100 лет тому назад К. Маркс на основе статистических данных Франции установил, что преступность растет интенсивнее населения. Данная закономерность сохраняется до сих пор. По данным ООН о тенденциях преступности число преступлений в мире растет в среднем на 5% в год, а численность населения – на 1–2%. При существенно различающихся уровнях преступности в разных странах в ее структуре всюду доминируют кражи (от 50–60% и выше), а число умышленных убийств во времени изменяется медленно и составляет не более 1%.
Закон больших чисел, состоящий из ряда теорем, порожден особыми свойствами массовых явлений: единичные явления в большей степени подвержены воздействию случайных факторов, нежели их совокупность. Закон больших чисел гласит, что количественные закономерности массовых явлений отчетливо проявляются лишь в достаточно большом их числе.Сущность его заключается в том, что в числах, получающихся в результате массового наблюдения, выступает определенный порядок вещей (устойчивые соотношения), которые не могут быть обнаружены в небольшом числе фактов. Пример опыта с бросанием монеты. Всем известно, что выпадение орла или решки равновероятно, т.е. если подбросить монету 10 раз, то 5 раз должен выпасть орел и 5 раз – решка. Однако общеизвестно, что вероятность такого исхода очень мала. Тем не менее, если увеличить число опытов до 100, то вероятность выпадения орла или решки приблизится к 50%. А если устремить число опытов к бесконечности, то вероятность выпадения орла и решки будет стремиться к 50%.
Именно закон больших чисел при анализе данных требует, что называется, «набрать статистику», т. е. использовать как можно большее число наблюдений для получения достоверных результатов.
Контрольные вопросы по теме 1
1. Становление статистики как науки, направления ее развития.
2. Значения термина «статистика».
3. Основные точки зрения на предмет статистики.
4. Основныезадачи статистической науки.
5. Что такое закономерность, статистическая закономерность? Закон больших чисел. Примеры.
7. Уровни статистики.
8. Статистическая методология.
9. Основные этапы статистического исследования.
ТЕМА 2. ПРАВОВАЯ СТАТИСТИКА – ОТРАСЛЬ НАУКИ СТАТИСТИКИ, ЕЕ ПРЕДМЕТ, ЗАДАЧИ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
mydocx.ru
Статистическая методология. Закон больших чисел. Статистическая закономерность
Исследование количественной стороны общественных явлений проходит в несколько этапов. На первом этапе собираются статистические данные, в процессе чего получается статистическая информация о явлениях и процессах, подлежащих статистическому анализу. Регистрация существенных признаков элементов статистической совокупности называется статистическим наблюдением. Так, при переписи населения регистрируются заранее определенные признаки всех жителей страны по тщательно разработанному плану.
Наблюдение позволяет охарактеризовать все разнообразие условий и способов проявлений изучаемых общественных закономерностей и получить характеристики процессов в целом.
На втором этапе статистические данные, собранные в результате проведения наблюдений, подвергаются систематизации и группировке. Этот этап называется сводкой статистических данных. Важнейшим методом, применяемым на этом этапе, является метод статистических группировок. Многообразие явлений общественной жизни требует выявления их типов, структуры. Например, по данным переписи населения необходимо определить его социальные группы и классы, группы по полу, возрасту.
Группировки имеют принципиальное значение, поскольку позволяют выделить однородные совокупности, разделить их на группы и подгруппы по существенным признакам и тем самым дать обобщающую характеристику всего объекта. На этом этапе переходят от описания отдельных единиц к описанию их групп и объекта в целом посредством подсчета итогов, вычисления обобщающих показателей в виде относительных и средних величин.
На третьем этапе статистического исследования проводится анализ и обобщение фактов и обнаруживаются закономерности в изучаемых явлениях. Для данного этапа исследования характерно применение всего арсенала статистических методов исследования. Статистический анализ позволяет сделать выводы о состоянии изучаемого социально-экономического явления, о закономерностях его развития. Выводы и анализ излагаются, как правило, в текстовой форме и сопровождаются графическими и табличными иллюстрациями.
Статистика помогает раскрыть и оценить социально-экономические закономерности, выяснить причинные взаимосвязи явлений, установить факторы, определяющие их развитие.
В трудах многих ученых и практиков приводятся разнообразные приемы анализа статистических данных и критика неправильного применения статистических методов. Колоссальный фактический материал ¾ богатейшие данные русской земской статистики, массовые данные американских переписей и обследований ряда европейских стран ¾ обобщен и подвергнут систематическому анализу.
Благодаря аналитическим выводам повышается действенность статистики. Анализ связывает статистическую науку с практикой, с различными формами общественной деятельности. Анализ статистических данных позволяет выяснить социально-экономическую сущность изучаемых явлений и процессов. Анализ фактов исходит из теоретических предпосылок, служит критерием их истинности.
Формы и методы анализа меняются в зависимости от характера изучаемых процессов. Это положение находится в прямой связи с философской теорией отражения. Система научных понятий и категорий, используемых в анализе, является отражением реальных отношений и свойств объективного мира. Эти понятия и категории могут использоваться только для анализа тех сторон общественной жизни, которым они соответствуют.
Явления и процессы, изучаемые социально-экономической статистикой, находятся в состоянии непрерывного движения, количественного и качественного изменения. Меняются их размеры, структура, свойства, сущность и формы проявления, а также закономерности развития. Соответственно с учетом конкретных особенностей изучаемых объектов, места и времени должны меняться и статистические приемы и методы исследования.
Реформирование общеметодологических основ статистики при переходе к рыночной экономике проявилось в изменении не только состава и экономического содержания показателей, но и методов их расчета.
В последние годы специалисты государственной статистики и других экономических ведомств совместно с учеными ¾ статистиками и экономистами ¾ проделали большую работу по совершенствованию методов расчетов традиционных показателей; обоснованию методологии исчисления новых показателей, характеризующих зарождающиеся и развивающиеся рыночные отношения в российской экономике; созданию необходимой методической документации.
Для приближения методологии статистического учета к международной практике в государственной статистике с 1992 г. стали использовать относительный показатель ¾ индекс физического объема, отражающий изменение массы произведенных материальных благ при исключении влияния динамики цен в текущем периоде по сравнению с базисным, что особенно актуально в условиях высокого уровня денежной инфляции.
В связи с тем, что в экономике России произошли существенные институциональные изменения, сформировался негосударственный сектор экономики, активно привлекаются иностранные капиталы, появились предприятия малого бизнеса и большое число физических лиц, занимающихся самостоятельной хозяйственной деятельностью, стало невозможным использовать сплошные методы учета деятельности предприятий; возникла необходимость обеспечения объективного отражения процессов, происходящих в экономике, иным путем. Полноту учета нужно было компенсировать научно обоснованными методами.
Методологической основой социально-экономической статистики являются диалектический и исторический материализм и политэкономия. Общие принципы и методы научного познания, разработанные в материалистической диалектике, служат фундаментом для понимания и правильного использования статистической методологии. Особенно большое значение для вскрытия специфики статистики имеет диалектико-материалистическая трактовка таких философских категорий, как качество и количество, причинность, необходимость и случайность, общее, частное и отдельное, закон и закономерность.
Опираясь на законы такой трактовки, социально-экономическая статистика разрабатывает специфические приемы, способы исследований, соответствующие природе изучаемых ею явлений и составляющие в целом метод социально-экономической статистики, или, иначе, ее методологии. Социально-экономическая статистика применяет в своих исследованиях методы дедукции и индукции.
Рассмотрим некоторые особенности статистической методологии. Их можно объединить в следующие обобщенные положения:
■ точное измерение и описание массовых данных;
■ измерение и анализ дифференциации явлений;
■ применение сводных (обобщающих) показателей для характеристики явлений и закономерностей их развития.
Первая особенность настолько свойственна статистике, что часто статистику определяют как науку о массовых явлениях. Это неточно, ибо все науки имеют дело с массовыми явлениями. Но для статистических методов наиболее характерно не изучение отдельных объектов, отдельных единиц совокупности, а измерение общих количественных соотношений и установление тенденций и закономерностей развития совокупности явлений. Например, статистика изучает изменение производительности труда не отдельного рабочего, а совокупности рабочих на совокупности предприятий. Так же обстоит дело и с изучением себестоимости, движения цен и т. д.
Исключительное значение для статистической методологии имеет закон больших чисел. Его содержание таково: в массе индивидуальных явлений общая закономерность проявляется тем полнее и точнее, чем больше их охвачено наблюдением. В числах, суммирующих результат массового наблюдения, выступают определенные закономерности, которые не могут быть обнаружены на небольшом количестве фактов. Закон больших чисел выражает диалектику случайного и необходимого. При определенных условиях величину отдельного элемента в совокупности можно рассматривать как случайную величину, учитывая, что она не только автоматически подчиняется какой-то общей закономерности, но и определяется действием множества факторов, не зависящих от этой общей закономерности. Так, продолжительность жизни отдельного человека определяется и общими условиями жизни в стране, и многими индивидуальными особенностями его жизни и организма. Невозможно судить о продолжительности жизни людей, об изменении ее за определенный период по небольшой группе отрывочных данных, ибо каждая отдельно взятая величина будет случайной: «Внутренний закон, прокладывающий себе дорогу через эти случайности и регулирующий их, становится видимым лишь тогда, когда они охватываются в больших массах»1.
Вследствие взаимопогашения случайных отклонений средние, исчисленные для величин одного и того же вида, становятся типичными, отражающими действие постоянных и существенных факторов в данных условиях времени и места. Тенденция и закономерности, вскрытые с помощью закона больших чисел, имеют силу лишь как массовые тенденции, но не как законы для каждого отдельного элемента.
В основе статистического исследования всегда лежит массовое наблюдение фактов. Но закон больших чисел не является регулятором процессов, изучаемых статистикой, не объясняет внутренний механизм процессов формирования закономерности качественных изменений явлений. Он характеризует лишь одну из форм проявления закономерностей в массовых количественных отношениях.
Действие закона больших чисел может быть выражено средствами математики. Так, в теории вероятности доказывается, что средняя арифметическая случайных величин при достаточно большом их числе с вероятностью, близкой к единице (т. е. к достоверности), сколь угодно мало отличается от математического ожидания этой средней. Это значит, что чем больше объем наблюдения, тем точнее наблюдаемые средние величины воспроизводят закономерности изучаемой совокупности. На этом основано применение имеющего существенное значение в статистике выборочного метода. Вместе с тем следует отметить, что некоторые ученые отвергают, а иногда просто приуменьшают или замалчивают значение закона больших чисел.
Важную роль играет понятие «статистическая закономерность». Статистическая закономерность есть объективная количественная закономерность массового процесса. Она обнаруживается в итоге массового статистического наблюдения. Этим обусловливается ее взаимосвязь с законом больших чисел. Любое заметное изменение условий существования данного множества окажет воздействие на статистическую закономерность. В этом смысле она является своего рода лакмусовой бумажкой на постоянство факторов.
Статистическая закономерность обусловливает малую вероятность больших отклонений фактических частот вариантов признака от теоретических. Например, в магазинах имеется ассортимент, соответствующий среднему спросу с резервным запасом, обеспечивающим возможные колебания спроса в нормальных условиях. Удельный вес резервного запаса товаров уменьшается с ростом числа покупателей. Статистическая закономерность с определенной вероятностью обусловливает устойчивость средних величин при сохранении постоянного комплекса условий, порождающих данное явление.
Изучение статистических закономерностей конкретных явлений имеет большое научное и практическое значение. К. Маркс в «Капитале» освещает, например, ряд случаев действия статистической закономерности в экономических процессах. Таков, например, механизм отклонения цен производства от стоимости, рыночных цен от цен производства.
Он писал, что, рассматривая данные о ценах за продолжительный период и в нормальных условиях общественного производства, «мы будем поражены прежде относительно узкими пределами отклонений и затем регулярностью, с которой такие отклонения уравновешиваются. Мы найдем здесь то господство регулирующих средних, которое Кетле указал для общественных явлений»2. Отсюда следует, что статистическая закономерность характеризуется двумя чертами:
1) относительной узостью пределов отклонений индивидуальных значений от среднего уровня;
2) регулярностью взаимопогашений этих отклонений.
К этой характеристике еще важно добавить, что статистическая закономерность выступает как форма проявления определенных экономических законов. Следовательно, обоснование закономерностей нужно искать в механизме действия или, если так можно выразиться, в механизме осуществления того или иного конкретного закона, а еще точнее ¾ в механизме взаимодействия различных законов.
Механизм действия статистической закономерности как формы причинной связи обусловлен соотношением необходимости и случайности, общего и частного, т. е. такими категориями, которые свойственны любому общественному строю, иначе говоря, являются общеисторическими.
Всегда ли отклонение индивидуальных значений от общего уровня (отклонение вариантов от их среднеарифметической) может укладываться в нормальное распределение? Отнюдь нет. И в то же время не следует считать, что только та закономерность, которая укладывается в кривую нормального распределения, подпадает под понятие статистической закономерности. Нормальное распределение ¾ лишь один из частных способов выражения статистической закономерности при очень определенных условиях. Оно является, таким образом, скорее математической абстракцией, чем реально существующим конкретным случаем массовой закономерности. Что же касается процесса выполнения плана, то он также подпадает под понятие средней общественной закономерности (как и другие экономические закономерности), хотя и имеет более сложные формы, порой очень далекие от нормального распределения.
Особенностью статистического метода является дифференцированный подход к изучаемым объектам. Совокупность единиц или явлений разбивается всегда на более или менее однородные группы как для того, чтобы установить структуру этой совокупности, так и для характеристики основных типов явлений. Например, изучение населения ведется в разрезе классов, социально-экономических групп. Изучение любой отрасли хозяйства связано с группировками предприятий по социально-экономическим типам.
Статистическая методология позволяет исследовать всю совокупность фактов, изобразить процесс в целом, учесть все тенденции развития и разнообразие форм явлений, также помогает открывать и анализировать причинные зависимости и закономерности явлений.
Официальная статистическая методология, утверждаемая Федеральной службой государственной статистики, является обязательной для федеральных органов исполнительной государственной власти, органов государственной власти субъектов Российской Федерации и местного самоуправления, юридических лиц, их филиалов и представительств граждан, осуществляющих предпринимательскую деятельность без образования юридического лица, при проведении государственных наблюдений.
Для устранения информационной разобщенности органов федеральной исполнительной власти и органов исполнительной власти субъектов Российской Федерации, обеспечения единства методологии и принципов формирования статистической информации, создания на федеральном уровне единого информационно-статистического пространства в составе федеральной программы статистических работ выделен специальный раздел, содержащий статистические работы, выполняемые федеральными органами исполнительной власти по вопросам, отнесенным к их ведению.
ekonomstat.ru
Закон больших чисел и статистическая закономерность.
Дата добавления: 2014-05-29 ; просмотров: 4520 ; Нарушение авторских прав
Важное значение для статистической методологии играет закон больших чисел. В наиболее общем виде он может быть сформулирован следующим образом:
Закон больших чисел — общий принцип в силу которого совокупные действия большого числа случайных факторов приводит при некоторых общих условиях к результату почти независящему от случая.
Закон больших чисел порожден особыми свойствами массовых явлений. Массовые явления последние в свою очередь с одной стороны в силу своей индивидуальности отличаются друг от друга, а с другой имеет нечто общее определяющее их принадлежность к определенному классу.
Единичное явление в большей степени подвержено влиянию случайных и несущественных факторов, чем масса явлений в целом. При определенных условиях значение признака у отдельной единицы можно рассматривать как случайную величину, учитывая, что она подчиняется не только общей закономерности, но и формируется под воздействием условий не зависящих от этой закономерности. Именно по этой причине статистика широко использует средние показатели, одним числом характеризующие всю совокупность. Только при большом числе наблюдений случайные отклонения от основного направления развития уравновешиваются, взаимопогашаются и статистическая закономерность проявляется более отчетливо. Таким образом, сущность закона больших чисел заключается в том, что в числах обобщающих результат массового статистического наблюдения закономерность развития социально-экономических явлений выявляется более отчетливо чем при небольшом по объему статистическому исследованию.
life-prog.ru
Статистическая закономерность;
Закон больших чисел
Массовый характер общественных законов и своеобразие их действий предопределяет необходимость исследования совокупных данных.
Закон больших чисел порожден особыми свойствами массовых явлений. Последние в силу своей индивидуальности, с одной стороны, отличаются друг от друга, а с другой – имеют нечто общее, обусловленное их принадлежностью к определенному классу, виду. Причем единичные явления в большей степени подвержены воздействию случайных факторов, нежели их совокупность.
Закон больших чисел в наиболее простой форме гласит, что количественные закономерности массовых явлений отчетливо проявляются лишь в достаточно большом их числе.
Таким образом, сущность его заключается в том, что в числах, получающихся в результате массового наблюдения, выступают определенные правильности, которые не могут быть обнаружены в небольшом числе фактов.
Закон больших чисел выражает диалектику случайного и необходимого. В результате взаимопогашения случайных отклонений средние величины, исчисленные для величины одного и того же вида, становятся типичными, отражающими действия постоянных и существенных фактов в данных условиях места и времени.
Тенденции и закономерности, вскрытые с помощью закона больших чисел, имеют силу лишь как массовые тенденции, но не как законы для каждого отдельного случая.
Статистические закономерности изучают распределение единиц статистического множества по отдельным признакам под воздействием всей совокупности факторов.
Статистическая закономерность выступает как объективная закономерность сложного массового процесса и является формой причинной связи. Она обнаруживается в итоге массового статистического наблюдения. Этим обуславливается ее связь с законом больших чисел.
Статистическая закономерность с определенной вероятностью гарантирует устойчивость средних величин при сохранении постоянного комплекса условий, порождающих данное явление.
Свой предмет статистика изучает при помощи своего, специфического метода. Общей основой разработки и применения статистической методики является диалектический метод познания, согласно которому общественные явления и процессы рассматриваются в развитии, взаимной связи и причинной обусловленности. Метод статистики – это целая совокупность приемов, пользуясь которыми статистика исследует свой предмет. Она включает в себя три группы собственно методов: метод массовых наблюдений, метод группировок, метод обобщающих показателей.
Статистическое наблюдение заключается в сборе первичного статистического материала, в научно организованной регистрации всех существенных фактов, относящихся к рассматриваемому объекту. Это первый этап всякого статистического исследования.
Метод группировок дает возможность все собранные в результате массового статистического наблюдения факты подвергать систематизации и классификации. Это второй этап статистического исследования.
Метод обобщающих показателей позволяет характеризовать изучаемые явления и процессы при помощи статистических величин – абсолютных, относительных и средних. На этом этапе статистического исследования выявляются взаимосвязи и масштабы явлений, определяются закономерности их развития, даются прогнозные оценки.
studopedia.su
Закон больших чисел
Взаимодействуя ежедневно в работе или учебе с цифрами и числами, многие из нас даже не подозревают о том, что существует очень интересный закон больших чисел, применяемый, например, в статистике, экономике и даже психолого-педагогических исследованиях. Он относится к теории вероятностей и говорит о том, что среднее арифметическое какой-либо большой выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.
Вы, наверное, заметили, что понять сущность этого закона непросто, особенно тем, кто не особо дружит с математикой. Исходя из этого, мы бы хотели рассказать о нем простым языком (насколько это возможно, конечно), чтобы каждый мог хотя бы примерно уяснить для себя, что это такое. Эти знания помогут вам лучше разобраться в некоторых математических закономерностях, стать более эрудированным и положительным образом повлиять на развитие мышления.
Понятия закона больших чисел и его трактовка
Помимо рассмотренного нами выше определения закона больших чисел в теории вероятностей, можно привести и его экономическое толкование. В этом случае он представляет собой принцип, согласно которому частоту финансовых потерь конкретного вида можно предсказать с высокой степенью достоверности тогда, когда наблюдается высокий уровень потерь подобных видов вообще.
Помимо этого, в зависимости от уровня сходимости признаков можно выделить слабый и усиленный законы больших чисел. О слабом речь идет, когда сходимость существует по вероятности, а об усиленном – когда сходимость существует практически во всем.
Если интерпретировать несколько иначе, то следует сказать так: всегда можно найти такое конечное число испытаний, где с любой запрограммированной наперед вероятностью меньше единицы относительная частота появления какого-то события будет крайне мало отличаться от его вероятности.
Таким образом, общую суть закона больших чисел можно выразить так: результатом комплексного действия большого количества одинаковых и независимых случайных факторов будет такой результат, который не зависит от случая. А если говорить еще более простым языком, то в законе больших чисел количественные закономерности массовых явлений будут явно проявляться только при большом их числе (поэтому и называется закон законом больших чисел).
Отсюда можно сделать вывод, что сущность закона состоит в том, что в числах, которые получаются при массовом наблюдении, имеются некоторые правильности, обнаружить которые в небольшом количестве фактов невозможно.
Сущность закона больших чисел и его примеры
Закон больших чисел выражает наиболее общие закономерности случайного и необходимого. Когда случайные отклонения «гасят» друг друга, средние показатели, определенные для одной и той же структуры, приобретают форму типичных. Они отражают действия существенных и постоянных фактов в конкретных условиях времени и места.
Определенные посредством закона больших чисел закономерности сильны только тогда, когда представляют массовые тенденции, и они не могут быть законами для отдельных случаев. Так, вступает в силу принцип математической статистики, говорящий, что комплексное действие ряда случайных факторов способно стать причиной неслучайного результата. И наиболее яркий пример действия данного принципа – это сближение частоты наступления случайного события и его вероятности, когда возрастает количество испытаний.
Давайте вспомним обычное бросание монетки. Теоретически орел и решка могут выпасть с одной и той же вероятностью. Это означает, что если, к примеру, бросить монетку 10 раз, 5 из них должна выпасть решка и 5 – орел. Но каждый знает, что так не происходит практически никогда, ведь соотношение частоты выпадения орла и решки может быть и 4 к 6, и 9 к 1, и 2 к 8 и т.д. Однако с увеличением количества подбрасываний монетки, например, до 100, вероятность того, что выпадет орел или решка, достигает 50%. Если же теоретически проводить бесконечное количество подобных опытов, вероятность выпадения монетки обеими сторонами всегда будет стремиться к 50%.
На то, как именно упадет монетка, влияет огромное число случайных факторов. Это и положение монетки на ладони, и сила, с которой совершается бросок, и высота падения, и его скорость и т.д. Но если опытов много, вне зависимости от того, как воздействуют факторы, всегда можно утверждать, что практическая вероятность близка к вероятности теоретической.
А вот еще один пример, который поможет понять сущность закона больших чисел: предположим, что нам нужно оценить уровень заработка людей в каком-то регионе. Если мы будем рассматривать 10 наблюдений, где 9 человек получают 20 тыс. рублей, а 1 человек – 500 тыс. рублей, среднее арифметическое составит 68 тыс. рублей, что, естественно, маловероятно. Но если мы возьмем в расчет 100 наблюдений, где 99 человек получают 20 тыс. рублей, а 1 человек – 500 тыс. рублей, то при расчете среднего арифметического получим 24,8 тыс. рублей, что уже ближе к реальному положению дел. Увеличивая число наблюдений, мы будем заставлять среднее значение стремиться к истинному показателю.
Именно по этой причине для применения закона больших чисел в первую очередь необходимо набрать статистический материал, чтобы получать правдивые результаты, изучая большое число наблюдений. Потому-то и удобно использовать этот закон, опять же, в статистике или социальной экономике.
Подведем итоги
Значение того, что закон больших чисел работает, сложно переоценить для любой области научного знания, и особенно для научных разработок в области теории статистики и методов статистического познания. Действие закона также обладает большим значением и для самих изучаемых объектов с их массовыми закономерностями. На законе больших чисел и принципе математической статистике основываются практически все методы статистического наблюдения.
Но, даже не беря во внимание науку и статистику как таковые, можно смело сделать вывод, что закон больших чисел – это не просто явление из области теории вероятностей, но феномен, с которым мы сталкиваемся практически каждый день в своей жизни.
Надеемся, теперь сущность закона больших чисел стала вам более понятна, и вы сможете легко и просто объяснить его кому-то другому. А если тема математики и теории вероятностей вам интересна в принципе, то рекомендуем почитать о числах Фибоначчи и парадоксе Монти Холла. Также познакомьтесь с приближенными вычислениями в жизненных ситуациях и самыми популярными числами. И, конечно же, обратите внимание на наш курс по когнитивистике, ведь, пройдя его, вы не только овладеете новыми техниками мышления, но и улучшите свои когнитивные способности в целом, в том числе и математические.
4brain.ru