Правила раскрытия неопределенностей вида
Основные неопределенности пределов и их раскрытие.
С непосредственным вычислением пределов основных элементарных функций разобрались.
При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.
Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль 
( 0 на 0 ), бесконечность делить на бесконечность 
, ноль умножить на бесконечность 
, бесконечность минус бесконечность 
, единица в степени бесконечность 
, ноль в степени ноль 
, бесконечность в степени ноль 
.
ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.
Раскрывать неопределенности позволяет:
- упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
- использование замечательных пределов;
- применение правила Лопиталя;
- использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).
Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).
Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.
Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.
Вычислить предел 
Подставляем значение:
И сразу получили ответ.
Вычислить предел 
Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:
То есть, предел можно переписать в виде
Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция 
. Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем 
и 
, следовательно, можно записать 
.
Исходя из этого, наш предел запишется в виде:
Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:
Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений.
Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.
Вычислить предел 
Подставляем значение:
Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.
После преобразования неопределенность раскрылась.
Вычислить предел 
Подставляем значение:
Пришли к неопределенности ( 0 на 0 ). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.
Для знаменателя сопряженным выражением будет 
Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.
После ряда преобразований неопределенность исчезла.
ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.
Вычислить предел 
Подставляем значение:
Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1 , то если разложить на множители эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.
Разложим числитель на множители:
Разложим знаменатель на множители:
Наш предел примет вид:
Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.
Пример.
Пример.
Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения ( m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при 
возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на 
Вычислить предел 
Степень числителя равна семи, то есть m=7 . Степень знаменателя также равна семи n=7 . Разделим и числитель и знаменатель на 
.
www.cleverstudents.ru
Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.
Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть 
или 
. Тогда, если существует предел отношения производных этих функций 
, то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем
Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.
Например, найти 
. Этот предел существует 
. Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.
Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.
Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.
Для раскрытия неопределенностей 1 ∞ , 1 0 , ∞ 0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
.
.
.
Обозначим 
.
Прологарифмируем это равенство 
. Найдем 
.
Так как lny функция непрерывная, то 
. Следовательно, 
или 
.
Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).
Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде
В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты 
.
Для того чтобы этот многочлен был «близок» к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:
Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты 
многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.
Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.
Подставим в (1) x = x0 и найдем 
, но с другой стороны 
. Поэтому 
Далее найдем производную 
и вычислим 
Следовательно, 
.
Учитывая третье условие и то, что
,
получим 
, т.е. 
.
Далее 
. Значит, 
, т.е. 
.
Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула 
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:
Обозначим 
и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x0. Отсюда 
и, следовательно, 
если остаточный член будет мал.
Оказывается, что если x0 Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1) (x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:
Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.
где x Î (x0, x) называется формулой Тейлора.
Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде
где x Î ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
-
Рассмотрим функцию f(x)=e x . Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:
Таким образом, получаем
Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e x .
Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:
причем остаток 
Отметим, что для любого x Î R остаточный член 
Действительно, так как ξ Î (0; x), то величина e ξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 e ξ x . Докажем, что при фиксированном x 
Имеем
Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x| N можем написать
Но 
, не зависящая от n, а 
так как q x с любой степенью точности.
Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.
Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.
Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:
Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим
.
Так как 
, то аналогично разложению e x можно показать, что 
для всех x.
Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:
Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:
Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.
f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:
Здесь также 
для всех x. Докажите формулу самостоятельно.
f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).
Найдем формулу МакЛорена для данной функции.
Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.
Можно доказать, что если x Î (–1;1],то 
, т.е. выведенная формула справедлива при x Î ( –1;1].
При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:
Можно показать, что при |x| f(x2).
Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.
Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.
Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.
Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.
Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)
- Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f ‘(x)≥ 0.
- Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ‘ (x)≥ 0 для a 0, то x 0. Но тогда и
Аналогично, если Δx x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x) 0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x10,x1 – x2>0 Þ 
, а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.
Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.
Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то 
на этом отрезке. Если 
на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].
Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f ‘(x)≥0.
Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.
Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f ‘(x)>0 – для возрастания или f ‘(x)
www.toehelp.ru
Правило Лопиталя с примерами
Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет правило Лопиталя. В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.
1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.
Если 
= 0, то 
, если последний существует.
2. Неопределенность вида ∞/∞ Второе п. Л.
Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей.
Если = ∞, то , если последний существует.
3. Неопределенности 0⋅∞, ∞- ∞, 1 ∞ и 0 0 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем преобразований. Такая запись служит для краткого указания случая при отыскании предела. Каждая неопределенность раскрывается по своему. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, пока не избавимся от неопределенности. Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных удается преобразовать к более удобному виду легче, чем отношение функций.
Пример 1. В этом примере неопределенность 0/0 
Пример 2. Здесь ∞/∞ 
В этих примерах производные числителя делим на производные знаменателя и подставляем предельное значение вместо х.
Пример 3. Вид неопределенности 0⋅∞ 
.
Неопределенность 0⋅∞ преобразуем к ∞/∞, для этого х переносим в знаменатель в виде дроби 1/x , в числителе пишем производную от числителя, а в знаменателе производную от знаменателя.
Пример 4 Вычислить предел функции 
Здесь неопределенность вида ∞ 0 Сначала логарифмируем функцию, затем найдем от нее предел 
Для получения ответа надо е возвести в степень -1, получим e -1 .
Пример 5. Вычислить предел от 
если x → 0
Решение. Вид неопределенности ∞ -∞ Приведя дробь к общему знаменателю перейдем от ∞-∞ к 0/0. Применим правило Лопиталя, однако снова получим неопределенность 0/0, поэтому п. Л. надо применить второй раз. Решение имеет вид:
= 
= 
= 
=
= 
= 
Пример 6 Решить 
Решение. Вид неопределенности ∞/∞, раскрыв ее получим
= 
= 
= 0.
В случаях 3), 4), 5) сначала логарифмируют функцию и находят предел логарифма, а затем искомый предел е возводим в полученную степень.
Пример 7. Вычислить предел 
Решение. Здесь вид неопределенности 1 ∞ . Обозначим A =
Тогда lnA = 
= 
= 
= 2.
Основание логарифма е, поэтому для получения ответа надо е возвести в квадрат, получим e 2 .
Иногда бывают случаи, когда отношение функций имеет предел, в отличие от отношения производных, которое не имеет его.
Т.к. sinx ограничен, а х неограниченно растет, второй член равен 0.
Эта функция не имеет предела, т.к. она постоянно колеблется между 0 и 2, к этому примеру неприменимо п. Л.
www.mathelp.spb.ru